Számrendszerek

Mik azok a számrendszerek?#

A számrendszereket más néven számábrázolási rendszernek is hívják. Egy adott számot, pontosabban értéket többféleképpen is ábrázolhatunk.

A 10-es számrendszert használjuk napi szinten, ez arra vezethető vissza, hogy 10 ujjunk van. De gondoljunk csak bele a Tally jelölésbe vagy a római számokba. Ugyanazt az értéket különböző írásjelekkel is ki tudjuk fejezni.

Ebben a fejezetben áttekintjük a 10-es, 2-es és 16-os számrendszerek közötti egész számok átváltását és 2-es számrendszerben a négy alapműveletet.

Számábrázolások#

Nézzük meg egy példát a Tally és római számábrázolásokra!

Tally jelölés kép

Tally jelölés

Római szám	Érték
I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

Római számok

Például a 34-es értéket a 10-es számrendszerben 34-gyel írjuk le, Tally jelöléssel ~~IIII~~ ~~IIII~~ ~~IIII~~ ~~IIII~~ ~~IIII~~ ~~IIII~~ IIII, római számokkal XXXIV-nek felel meg.

A számrendszerek felépítése#

A 10-es számrendszer bizonyára mindenkinek ismert, így ebből fogunk kiindulni.

Kérdés

De hogyan is néz ez ki?

Annyira rutinosan használjuk, hogy bele sem gondolunk ennek a matematikai mikéntjébe.

Egy számrendszerben van jelkészlet és helyiérték.

Jelkészlet és helyiérték#

Egy példán keresztül nézzük meg elsőnek a fentieket. Vegyük a 37211-es számot. Elemezzük!

A jelkészlete ennek a számnak: 3, 7, 2, 1. Ezek a számjegyek fordulnak elő benne, az ismétlődés nem számít.

A helyiértékét pedig az alábbi táblázat mutatja:

Tízezresek	Ezresek	Százasok	Tízesek	Egyesek
3	7	2	1	1

Tehát ez azt jelenti, hogy az egyes helyiértéken, azaz az egyesekből van 1 darab.
A tízesekből szintén 1 darab.
A százasokból 2 darab van, és így tovább.

Ezeket a helyiértékeket fel lehet írni hatványalakokban.

Írjuk fel a fenti táblázat helyiértékeit hatványalakokban:

10⁴ = 10000	10³ = 1000	10² = 100	10¹ = 10	10⁰ = 1
3	7	2	1	1

Hogyan kapjuk ebből vissza az eredeti számot? A helyiértékeket megszorozzuk a hozzájuk tartozó értékekkel, majd ezeket összeadjuk.

Nézzük a fenti példán:
1 * 1 + 10 * 1 + 100 * 2 + 1000 * 7 + 10000 * 3 = 37211

Ebből a táblázatból a szemfülesebbek már észrevehették, hogy a 10-es számrendszer helyiértékeit a 10-es alapú hatványok adják.

Ezt általánosítva:

Állítás

Egy számrendszer helyiértékeit a számrendszer alapszámának hatványai fogják adni.

Számrendszer jelölése számoknál#

Ha kérdéses, hogy egy szám milyen számrendszerben van felírva, akkor jobb alsó indexbe szokták jelölni a számrendszert. Ha nincs megadva, akkor 10-es számrendszerben értelmezzük.

Például 101-et értelmezhetjük 10-es számrendszerben, ekkor 101-et ér, viszont akár 2-esben is, ekkor pedig 5-öt ér.

Tehát jelölni kell, hogy mi a 101-et a 10-es számrendszerben írtuk fel: 101₁₀

A 10-es számrendszer (decimális)#

Mindenki találkozik vele a hétköznapok során, kezdésnek vizsgáljuk meg ezen számrendszer jellemzőit!

Jelkészlet#

A 10-es számrendszer jelkészlete a következő jelekből (számjegyekből) áll: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (10 darab).

Helyiérték#

A helyiértékeit a 10 hatványai adják.
Az egyesek helyiértékét a 10⁰, a tízesekét a 10¹, a százasokét a 10², és így tovább.

Megjegyzés

A hatványkitevője lehet negatív is. Ez tört számot eredményez. Például 10^-1 = 0.1

A 2-es számrendszer (bináris)#

Kérdés

Miért a 2-es számrendszer?

A számítógépek tárolóegységei kétállapotú fizikai elemek. Az egyik állapot a "van" állapot/folyik áram, ez az 1-es állapot, a másik a "nincs" állapot/nincs jelen áram, ez a 0-ás állapot. A digitális áramkörök esetében a 2-es számrendszert a legegyszerűbb megvalósítani.

Ha a fentieket megértettük, akkor nem lesz sokkal bonyolultabb a binárisban való számolás, csak szokatlan a tudatos használata ezen ismereteknek.

Jelkészlet#

A 2-es számrendszer jelkészlete: 0, 1 (2 darab).

Állítás

Minden számrendszerben annyi jel van, ahány a számrendszer alapja.

A 10-es számrendszerben 10 darab volt összesen, itt pedig 2 darab a jelkészlet darabszáma. Például a 8-as (oktális) számrendszerben 8 darabos a jelkészlet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Állítás

A jelkészlet legnagyobb értéke mindig eggyel kisebb, mint a számrendszer alapja.

2-es számrendszer jelkészletében 0 és 1 van, 2 nincs (a 2 ábrázolásához új helyiértéket kell behozni), ahogyan 10-es számrendszer jelkészletében is 0, ..., 9 szerepel, a 10-hez már új helyiértéket kell behoznunk (1 tízes és 1 egyes).

Helyiérték#

A helyiértékeket itt a 2-es alapú hatványok fogják adni, azaz a 2-t kell hatványozni.

Nézzünk meg pár helyiértéket!

A 2-es számrendszer első 4 helyiértéke
2³ = 8	2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1

Haladjunk sorban: Nézzük meg az 1-et hogyan ábrázoljuk 2-es számrendszerben!

2⁰ = 1
1

Ugyanúgy írjuk, ahogyan szoktuk 10-es számrendszerben is.
A helyiérték 1, annak értéke pedig 1, tehát 1 * 1 = 1

És a 2-t hogyan ábrázoljuk 2-es számrendszerben? Nincs 2-es jelünk, csak 0 és 1.
Mit csinálunk 10-es számrendszerben, ha elfogy a jelkészlet?

Gondoljuk meg

8 után jön a 9, majd utána elfogyott a jelkészlet, behozunk 1 darab 1-es jelet a tízesek helyére (ahol ugye 0 áll, csak nem szoktuk kiírni), majd az egyesek helyét 0-ra írjuk. Aztán megyünk felfelé, 11, 12, ..., 19. Most megint 9-hez értünk az egyeseknél. A tízesek helyére eggyel nagyobb jelet írunk, azaz 1 helyett 2-t, az egyesek helyét pedig ismét 0-ra írjuk. Ez egészen megy addig, amíg a tízesek helyén is el nem érjük a 9-est. Tehát 90, 91, .., majd végül a 99 következik. Utána ismét elértük a 9-est az egyesek helyiértéken és immáron a tízesekében is, így új helyiértéket kell behozni, a százasokat, ami eddig 0 értéket képviselt, most 1-re írjuk, a másik két helyiértéket pedig 0-ra írjuk át. Így áll össze a 100-as szám. 1 darab százas (10² = 100) meg 0 darab tízessel (10¹ = 10) meg 0 darab egyessel (10⁰ = 1). Felírva: 100 * 1 + 10 * 0 + 1 * 0 = 100

Ebből az következik, hogy ahhoz, hogy a 2-es értéket fel tudjuk írni 2-es számrendszerben, új helyiértéket kell behoznunk:

2¹ = 2	2⁰ = 1
1	0

Ha összegezzük őket: 2 * 1 + 1 * 0 = 2

Na és a 3-mat hogyan írnánk fel?
Itt még nem szükséges új helyiértéket behozni, hiszen ha az előző példában az 1-es helyiértéket 1-re átírjuk, akkor az pont 3 lesz:

2¹ = 2	2⁰ = 1
1	1

Így lesz 3 az értéke: 2 * 1 + 1 * 1 = 3

Nézzük meg a 6-os számot. Írjuk fel 2-es számrendszerbe!
Ehhez már biztosan kelleni fog egy új helyiérték, hiszen a 3-nál mind a két helyiértéken 1-es szerepel, így ennél nagyobb értéket nem tudunk ábrázolni ezen a két helyiértéken.

Ha behozunk egy új helyiértéket, akkor az már elegendő ahhoz, hogy felírhassuk a 6-ot 2-es számrendszerben:

2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1
1	1	0

Helyiértékek (2-es alapú hatványok)#

2-es számrendszer első helyiértékei (kisebbtől a nagyobbig)
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
1024

0-tól 16-ig binárisan#

Egy kis segítség a továbbiakban a számolásokhoz.
Felfedezhető bizonyos szabályszerűség a bináris számok alakjaiban.

10-es számrendszer	2-es számrendszer
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111
16	10000

Bináris <--> decimális átváltás#

Kicsi számokat viszonylag könnyű átváltani, de mi a helyzet egy nagyobb számmal?
Hogyan váltanánk át a legelső példaszámunkat, a 745-öt?

Erre létezik egy osztásos módszer, amit a következőképpen írunk fel:

Decimális számrendszerből átváltás tetszőlegesbe

Átváltandó szám | Célszámrendszer

A mi példánk így fest:

 745 | 2
-----|--

A bal oldali számot kell osztani maradékosan a célszámrendszer számával, majd a vonal bal oldalára kerül az egész szám, jobb oldalra pedig a maradék.

Tehát itt nem a megszokott osztást kell követni, ahol tizedesjegy pontossággal számolunk, amit kiad a számológép is, hanem a maradékra van szükségünk, amit általános iskolában tanítottak az osztás bevezetésénél.

Például 13 : 2 = 6 és maradék az 1. Hiszen 6 * 2 = 12, + 1 a maradék, így adja ki a 13-mat. Nekünk arra van szükségünk, hogy pontosan hány egésszer van meg benne, és mennyi lesz a maradék.

Egy másik példa 15 : 4 = 3 és maradék a 2. Hiszen 4 * 3 = 12, + 2 a maradék, így adja ki a 15-öt.

Ha 2-es számrendszerbe váltunk át, akkor ha páratlan számot osztunk 2-vel, biztosan 1 lesz a maradék. Ha páros számot osztunk, akkor 0 lesz a maradék.

Azt is csinálhatjuk a 2-es számrendszerbe való átváltás során, hogyha páratlan számot látunk, kivonunk belőle egyet, majd azt osztjuk el 2-vel. Ilyenkor biztosan 1 lesz a maradék, ami jobb oldalra kerül, bal oldalra pedig az egész szám, amiből kivontunk egyet, ezzel párossá téve, majd osztottuk 2-vel.

Addig csináljuk az osztást, amíg bal oldalon ki nem jön a 0! Mivel folyamatosan osztunk egy számot (2-es számrendszer esetében felezünk), így el fogjuk érni a 0-át.

Végigmegyünk a teljes folyamaton:

 745 | 2
-----|--
 372 | 1

745 : 2 = 372 egész + 1 a maradék. Az egész balra, a maradék jobbra kerül leírásra.

 745 | 2
-----|--
 372 | 1
 186 | 0

372 : 2 = 186 egész, mivel páros számot osztottunk, így egész fele a számnak, tehát a maradék 0.

 745 | 2
-----|--
 372 | 1
 186 | 0
  93 | 0

186 : 2 = 93 egész, a maradék 0.

 745 | 2
-----|--
 372 | 1
 186 | 0
  93 | 0
  46 | 1

93 : 2 = 46 egész, + 1 a maradék.

 745 | 2
-----|--
 372 | 1
 186 | 0
  93 | 0
  46 | 1
  23 | 0

46 : 2 = 23 egész, a maradék 0.

 745 | 2
-----|--
 372 | 1
 186 | 0
  93 | 0
  46 | 1
  23 | 0
  11 | 1

23 : 2 = 11 egész, + 1 a maradék.

11 : 2 = 5 egész, + 1 a maradék.

5 : 2 = 2 egész, + 1 a maradék.

2 : 2 = 1, a maradék 0.

1 : 2 = 0, + 1 a maradék.

Most hogy végeztünk, már csak annyi dolgunk van, hogy lentről felfelé elkezdjük leírni a számjegyeket egymás után (tehát balról jobbra): 1011101001₂

Nézzük meg a helyiértékeket:

2⁹ = 512	2⁸ = 256	2⁷ = 128	2⁶ = 64	2⁵ = 32	2⁴ = 16	2³ = 8	2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1
1	0	1	1	1	0	1	0	0	1

Ha összeszámoljuk: 512 * 1 + 256 * 0 + 128 * 1 + 64 * 1 + 32 * 1 + 16 * 0 + 8 * 1 + 4 * 0 + 2 * 0 + 1 * 1 = 745

Nézzünk meg egy nagyobb számot, a 37211-et:

37211 | 2
------|--
18605 | 1

37211 : 2 = 18605 egész, + 1 a maradék.

37211 | 2
------|--
18605 | 1
 9302 | 1

18605 : 2 = 9302 egész, + 1 a maradék.

Nem nehezebb átváltani, mint egy kisebb számot, csak tovább tart.

A teljes folyamat:

Ismét lentről felfelé kezdjük el leírni a számjegyeket egymás után (tehát balról jobbra): 10010001010111111₂

Nézzük meg a helyiértékeket:

2¹⁵ = 32768	2¹⁴ = 16384	2¹³ = 8192	2¹² = 4096	2¹¹ = 2048	2¹⁰ = 1024	2⁹ = 512	2⁸ = 256	2⁷ = 128	2⁶ = 64	2⁵ = 32	2⁴ = 16	2³ = 8	2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1
1	0	0	1	0	0	0	1	0	1	0	1	1	0	1	1

Ha összeszámoljuk: 32768 * 1 + 16384 * 0 + 8192 * 0 + 4096 * 1 + 2048 * 0 + 1024 * 0 + 512 * 0 + 256 * 1 + 128 * 0 + 64 * 1 + 32 * 0 + 16 * 1 + 8 * 1 + 4 * 0 + 2 * 1 + 1 * 1 = 37211

Ezekkel a módszerrel bármilyen nagy számot könnyedén át tudunk váltani oda-vissza a két számrendszer között.

Megjegyzés

Bármilyen számrendszerbe át lehet tízesből váltani ezzel az osztásos módszerrel, csak a célszámrendszer alapszámával kell osztani, és figyelni a maradékokra, amíg bal oldalt meg nem jelenik a 0.

Összeadás#

Adjunk össze két számot kettes számrendszerben!
Vegyünk két számot: 483₁₀ és 742₁₀

Először is, váltsuk át őket.

Kezdjük a 483-mal:

483₁₀ = 111100011₂

A gyakorlás kedvéért megnézzük helyiértékesen is:

2⁸ = 256	2⁷ = 128	2⁶ = 64	2⁵ = 32	2⁴ = 16	2³ = 8	2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1
1	1	1	1	0	0	0	1	1

Összegezve: 256 * 1 + 128 * 1 + 64 * 1 + 32 * 1 + 16 * 0 + 8 * 0 + 4 * 0 + 2 * 1 + 1 * 1 = 483

742 átváltása:

742₁₀ = 1011100110₂

Helyiértékesen:

2⁹ = 512	2⁸ = 256	2⁷ = 128	2⁶ = 64	2⁵ = 32	2⁴ = 16	2³ = 8	2² = 4	2¹ = 2	2⁰ = 1
1	0	1	1	1	0	0	1	1	0

Összegezve: 512 * 1 + 256 * 0 + 128 * 1 + 64 * 1 + 32 * 1 + 16 * 0 + 8 * 0 + 4 * 1 + 2 * 1 + 1 * 0 = 742

Írjuk a két számot egymás alá, ahogyan írásban szokás összeadni:

   111100011
+ 1011100110
  ----------

Ugyanúgy kell összeadni, ahogyan tízes számrendszerbeli számoknál szokás:

0 + 0 = 0 lesz.
0 + 1 vagy 1 + 0 = 1 lesz.
1 + 1 = 0 lesz, és marad az 1.

Kezdjük a legkisebb helyiértéken (jobb széle):

   111100011
+ 1011100110
  ----------
           1

1 + 0 = 1, nem maradt semmi.

         1
   111100011
+ 1011100110
  ----------
          01

1 + 1 = 0, és maradt az 1 (fent van jelezve 1-essel a következő összeadandó helyiértékeknél a maradék).

        1
   111100011
+ 1011100110
  ----------
         001

0 + 1 = 0, de a korábbi 1-et hozzáadva már 0 lesz, és marad az 1.

   111100011
+ 1011100110
  ----------
        1001

0 + 0 = 0, de a korábbi 1-et hozzáadva 1 lesz, nem maradt semmi.

   111100011
+ 1011100110
  ----------
       01001

0 + 0 = 0, nem maradt semmi.

     1
   111100011
+ 1011100110
  ----------
      001001

1 + 1 = 0, maradt az 1.

     1
   111100011
+ 1011100110
  ----------
     1001001

1 + 1 = 0, korábbi 1-es miatt 1 lesz, és maradt az 1.

   1 
   111100011
+ 1011100110
  ----------
    11001001

1 + 1 = 0, korábbi 1-es miatt 1 lesz, és maradt az 1.

  1 
   111100011
+ 1011100110
  ----------
   011001001

1 + 0 = 0, de a korábbi 1-es miatt 0 lesz, maradt az 1.

    111100011
+  1011100110
  -----------
  10011001001

1 + a korábban maradt 1-es az 0, maradt az 1.
Mivel nincs több helyiértékes szám, így leírjuk ezt a maradék 1-et egy új helyiértékre.

Az összeadás eredménye 10011001001₂ = 1225₁₀
483 + 742 = 1225

Kivonás#

A kivonás is hasonlóan megy, ahogyan azt megszoktuk írásban.

Vonjuk ki a 639-ből a 231-et.
Ezeknek az átváltása legyen önálló feladat gyakorlásként!

639₁₀ = 1001111111₂
231₁₀ = 11100111₂

Írjuk fel őket a szokásos módon (fent lesz a kisebbítendő, lent pedig a kivonandó):

  1001111111
-   11100111
  ----------

Ugyanúgy vonunk ki, ahogyan a 10-es számrendszerbeli számokkal szokás:

1-hez, hogy 1 legyen, kell 0.
0-hoz, hogy 1 legyen, kell 1.
1-hez, hogy 0 legyen, kell 1, és maradt az 1.

Az első lépés:

  1001111111
-   11100111
  ----------
           0